Чтобы найти путь по графику скорости, вычислите площадь между графиком и осью времени: разбейте фигуру на простые части и сложите их площади. Если график показывает скорость со знаком, участки ниже оси учитывайте для пути по модулю; для перемещения складывайте площади с учётом знака. Перед расчётом проверьте шкалы и единицы измерения.
Что проверить перед вычислением пути по графику скорости
- По горизонтальной оси отложено время, по вертикальной — скорость.
- Известны масштаб и единицы делений на обеих осях.
- Отмечены моменты, где скорость меняется или график пересекает ось времени.
- Определено, показывает график модуль скорости или скорость с направлением.
- Величины приведены к совместимым единицам, например секунды и метры в секунду.
Как прочитать шкалы времени и скорости
Сначала подпишите единицы измерения осей и выясните, сколько времени и скорости соответствует одному делению. Затем считайте координаты точек графика: время определяет ширину участка, скорость — его высоту.
Этот способ подходит для графиков движения, где скорость задана как функция времени. Если изображён график пути от времени или ускорения от времени, площадь под линией сама по себе не даст пройденный путь: сначала потребуется определить связь величин.
Почему путь на графике равен площади под линией
За промежуток времени при постоянной скорости тело проходит путь, равный произведению скорости на время: s = v · Δt. На графике скорость-время это произведение соответствует площади прямоугольника. Если скорость меняется, площадь под линией складывается из площадей небольших участков.
Для расчёта понадобятся сам график, линейка или возможность считывать координаты точек и подходящие формулы площадей. При переменной скорости используйте геометрические фигуры, на которые можно разбить область под графиком.
Как разбить график на прямоугольники и треугольники
Перед вычислением подготовьте график, чтобы не пропустить смену режима движения:
- Найдите начальный и конечный моменты рассматриваемого интервала.
- Отметьте точки излома и пересечения графика с осью времени.
- Проверьте единицы шкал и при необходимости переведите их.
- Разделите область под линией на прямоугольники, треугольники или трапеции.
Далее действуйте по шагам.
-
Разделите график на участки.
Проведите границы в точках, где меняется наклон линии, и в местах её пересечения с осью времени. В каждом получившемся участке скорость должна меняться по одному правилу. -
Выберите фигуру для каждого участка.
При постоянной скорости используйте прямоугольник; при равномерном изменении скорости от нуля — треугольник; для наклонного участка между двумя ненулевыми скоростями удобно взять трапецию. -
Считайте площадь каждой фигуры.
Для прямоугольника используйте произведение основания на высоту, для треугольника — половину произведения основания на высоту, для трапеции — произведение полусуммы оснований на высоту. Основание здесь измеряется временем, высота — скоростью. -
Сложите площади для пути.
Если график показывает скорость с направлением, для пройденного пути складывайте абсолютные значения площадей. Для перемещения складывайте площади со знаками: выше оси — положительные, ниже — отрицательные.
Что делать с участками графика ниже оси времени
Участок ниже оси означает отрицательную скорость относительно выбранного направления. Он не соответствует отрицательному пройденному пути: отрицательный знак важен для перемещения, а путь остаётся неотрицательной длиной траектории.
- Проверьте, пересекает ли линия ось времени внутри участка.
- Если пересекает, разделите участок в точке пересечения.
- Для пути вычислите площадь каждой части и сложите её модуль.
- Для перемещения сохраните знак площади относительно оси.
- Убедитесь, что площадь ниже оси не вычтена при вычислении пути.
- Проверьте, что ответ на путь неотрицателен.
Как перевести единицы перед подсчётом площади
Единицы произведения скорости на время должны давать единицу длины. Например, скорость в метрах в секунду умножают на время в секундах; результат получают в метрах.
- Не умножайте километры в час на секунды без предварительного перевода одной из величин.
- Не считайте деления по оси равными единице, пока не выяснен масштаб.
- Не смешивайте время в минутах с временем в секундах внутри одного расчёта.
- Не забывайте, что высота фигуры — скорость, а не ускорение.
- Не округляйте промежуточные значения слишком рано.
- Записывайте единицу длины рядом с итогом.
Проверка результата на примере движения по нескольким участкам
Пусть график показывает движение: сначала скорость постоянна 4 м/с в течение 3 с, затем она линейно возрастает от 4 до 8 м/с за 2 с. На первом участке площадь прямоугольника равна 4 · 3 = 12 м. На втором площадь трапеции равна (4 + 8) · 2 / 2 = 12 м. Пройденный путь за оба участка — 24 м.
Если направление движения не менялось, перемещение в этом примере тоже равно 24 м. Если график скорости пересекал бы ось времени, для пути следовало бы сложить модули площадей, а для перемещения — учесть их знаки.
Для проверки можно выбрать подходящий способ:
- Геометрическое разбиение. Удобно, когда график состоит из нескольких прямых отрезков и простых фигур.
- Формула средней скорости. Подходит на участке с линейным изменением скорости: путь равен средней скорости, умноженной на длительность участка.
- Подсчёт по клеткам. Практичен для сетчатого графика, если известны значения времени и скорости на одну клетку; результат всё равно нужно проверить по единицам.
Разбор типичных затруднений при работе с графиком скорости
Как найти путь по графику скорости, если линия наклонная?
Определите площадь фигуры между линией и осью времени на нужном интервале. Наклонный участок можно представить треугольником или трапецией.
Какая формула нужна для пути по графику скорости?
Для прямоугольного участка используйте s = v · Δt, для треугольного — s = основание · высота / 2. Если скорость меняется от одного ненулевого значения к другому линейно, используйте площадь трапеции.
Как определить пройденный путь по графику скорости ниже оси?
Найдите площадь участка и возьмите её модуль. Для вычисления перемещения эта площадь, напротив, учитывается со знаком минус.
Чем путь отличается от перемещения на таком графике?
Путь — сумма модулей площадей и не бывает отрицательным. Перемещение — сумма площадей со знаками, поэтому при смене направления оно может отличаться от пути.
Что показывает график скорости и времени и как найти путь по нему?
Он показывает, как меняется скорость тела со временем. Путь на выбранном промежутке находят по площади между графиком и осью времени, складывая модули частей.
Как решать задачи на график скорости и путь, если шкала дана в километрах в час?
Сначала согласуйте единицы: переведите скорость в метры в секунду или время в часы. Затем рассчитайте площадь и запишите результат в соответствующих единицах длины.